Geometri - Geometry

Daripada Wikipedia, Ensiklopedia Percuma

Pin
Send
Share
Send

Gambaran mengenai Teorema Desargues, hasil dalam Euclidean dan geometri projektif

Geometri (daripada Yunani kuno: γεωμετρία; geo- "bumi", -metron "pengukuran") adalah, dengan aritmetik, salah satu cabang tertua di matematik. Ini berkaitan dengan sifat ruang yang berkaitan dengan jarak, bentuk, ukuran, dan kedudukan relatif angka.[1] Seorang ahli matematik yang bekerja dalam bidang geometri dipanggil a geometer.

Sehingga abad ke-19, geometri hampir sepenuhnya dikhaskan untuk Geometri Euclidean,[a] yang merangkumi tanggapan mengenai titik, garisan, kapal terbang, jarak, sudut, permukaan, dan keluk, sebagai konsep asas.[2]

Pada abad ke-19, beberapa penemuan memperluas ruang lingkup geometri secara dramatik. Salah satu penemuan tertua seperti itu Gauss' Teorema Egregium (teorema luar biasa) yang menegaskan secara kasar bahawa Kelengkungan Gauss permukaan adalah bebas daripada spesifik pembenihan di sebuah Ruang Euclidean. Ini menunjukkan bahawa permukaan dapat dikaji secara intrinsik, itu adalah ruang yang berdiri sendiri, dan telah dikembangkan ke dalam teori manifold dan Geometri Riemann.

Kemudian pada abad ke-19, muncul bahawa geometri tanpa postulat selari (geometri bukan Euclidean) dapat dikembangkan tanpa memperkenalkan percanggahan. Geometri yang mendasari relativiti am adalah aplikasi geometri bukan Euclidean yang terkenal.

Sejak itu, ruang lingkup geometri telah diperluas, dan bidangnya telah dibahagi dalam banyak subbidang yang bergantung pada kaedah yang mendasari—geometri pembezaan, geometri algebra, geometri pengiraan, topologi algebra, geometri diskrit (juga dikenali sebagai geometri gabungan), dan lain-lain — atau pada sifat ruang Euclidean yang tidak diambil kira—geometri projektif yang hanya mempertimbangkan penjajaran titik tetapi bukan jarak dan paralelisme, geometri afin yang menghilangkan konsep sudut dan jarak, geometri terhingga yang menghilangkan kesinambungan, dan lain-lain.

Selalunya dikembangkan dengan tujuan untuk memodelkan dunia fizikal, geometri mempunyai aplikasi untuk hampir semua sains, dan juga untuk seni, seni bina, dan aktiviti lain yang berkaitan dengan grafik.[3] Geometri juga mempunyai aplikasi untuk bidang matematik yang nampaknya tidak berkaitan. Sebagai contoh, kaedah geometri algebra adalah asas untuk Bukti Wiles daripada Teorema Terakhir Fermat, masalah yang dinyatakan dari segi aritmetik sekolah rendah, dan tetap tidak dapat diselesaikan selama beberapa abad.

Sejarah

A Orang Eropah dan sebuah Arab mempraktikkan geometri pada abad ke-15

Permulaan geometri terawal yang dicatatkan dapat dikesan kuno Mesopotamia dan Mesir pada milenium ke-2 SM.[4][5] Geometri awal adalah kumpulan prinsip yang dijumpai secara empirik mengenai panjang, sudut, luas, dan volume, yang dikembangkan untuk memenuhi beberapa keperluan praktis dalam tinjauan, pembinaan, astronomi, dan pelbagai kraf. Teks yang paling awal diketahui mengenai geometri adalah Orang Mesir Papirus Rhind (2000–1800 SM) dan Papirus Moscow (sekitar 1890 SM), Tablet tanah liat Babylon seperti Plimpton 322 (1900 SM). Contohnya, Papirus Moscow memberikan formula untuk mengira isipadu piramid terpotong, atau frustum.[6] Tablet tanah liat kemudian (350–50 SM) menunjukkan bahawa ahli astronomi Babylon dilaksanakan trapezoid prosedur untuk mengira kedudukan Musytari dan gerakan dalam ruang halaju masa. Prosedur geometri ini menjangkakan Kalkulator Oxford, termasuk teorem kelajuan min, oleh 14 abad.[7] Selatan Mesir orang Nubia kuno mewujudkan sistem geometri termasuk versi awal jam matahari.[8][9]

Pada abad ke-7 SM, Bahasa Yunani ahli matematik Thales of Miletus menggunakan geometri untuk menyelesaikan masalah seperti mengira ketinggian piramid dan jarak kapal dari pantai. Dia dikreditkan dengan penggunaan penalaran deduktif pertama yang diterapkan pada geometri, dengan memperoleh empat akibat Teorema Thales.[10] Pythagoras menubuhkan Sekolah Pythagoras, yang dikreditkan dengan bukti pertama dari Teorema Pythagoras,[11] walaupun penyataan teorema mempunyai sejarah yang panjang.[12][13] Eudoxus (408 – sekitar 355 SM) mengembangkan kaedah keletihan, yang memungkinkan pengiraan kawasan dan jumlah angka lengkung,[14] serta teori nisbah yang mengelakkan masalah magnitud yang tidak dapat dikira, yang membolehkan geometer seterusnya membuat kemajuan yang ketara. Sekitar 300 SM, geometri telah direvolusikan oleh Euclid, yang Unsur, dianggap sebagai buku teks paling berjaya dan berpengaruh sepanjang masa,[15] diperkenalkan ketegasan matematik melalui kaedah aksiomatik dan merupakan contoh awal format yang masih digunakan dalam matematik hari ini, iaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti. Walaupun sebahagian besar kandungan Unsur sudah diketahui, Euclid menyusunnya menjadi satu kerangka logik yang tunggal.[16] The Unsur telah diketahui oleh semua orang yang berpendidikan di Barat hingga pertengahan abad ke-20 dan kandungannya masih diajar di kelas geometri hari ini.[17] Archimedes (c. 287-212 SM) dari Syracuse menggunakan kaedah keletihan untuk mengira kawasan di bawah lengkok a parabola dengan penjumlahan dari siri yang tidak terhingga, dan memberikan perkiraan yang sangat tepat untuk Pi.[18] Dia juga belajar mengenai lingkaran mengandungi namanya dan memperoleh formula untuk isi padu daripada permukaan revolusi.

Wanita mengajar geometri. Ilustrasi pada permulaan terjemahan abad pertengahan Elemen Euclid, (sekitar 1310).

Orang India ahli matematik juga memberikan banyak sumbangan penting dalam geometri. The Satapatha Brahmana (Abad ke-3 SM) mengandungi peraturan untuk pembinaan geometri ritual yang serupa dengan Sulba Sutra.[19] Menurut (Hayashi 2005, hlm. 363), yang Śulba Sūtras mengandungi "ungkapan lisan Teorema Pythagoras paling awal yang ada di dunia, walaupun telah diketahui oleh orang Babilonia Lama. Mereka mengandungi senarai Tiga kali lipat Pythagoras,[20] yang merupakan kes tertentu Persamaan Diophantine.[21]Di dalam Manuskrip Bakhshali, terdapat segelintir masalah geometri (termasuk masalah mengenai isipadu pepejal tidak teratur). Manuskrip Bakhshali juga "menggunakan sistem nilai tempat perpuluhan dengan titik untuk sifar."[22] Aryabhatas Aryabhatiya (499) merangkumi pengiraan luas dan isipadu.Brahmagupta menulis karya astronomi Brāhma Sphuṭa Siddhānta pada tahun 628. Bab 12, mengandungi 66 Bahasa Sanskrit ayat-ayat, dibahagikan kepada dua bahagian: "operasi asas" (termasuk akar kubus, pecahan, nisbah dan perkadaran, dan barter) dan "matematik praktikal" (termasuk campuran, siri matematik, angka satah, bata susun, menggergaji kayu, dan cerucuk) daripada bijirin).[23] Pada bahagian terakhir, dia menyatakan teoremnya yang terkenal mengenai pepenjuru a segiempat sama siklik. Bab 12 juga memasukkan formula untuk luas segiempat siklik (generalisasi dari Formula Heron), serta penerangan lengkap mengenai segi tiga rasional (i.e. segi tiga dengan sisi rasional dan kawasan rasional).[23]

Di dalam Pertengahan umur, matematik dalam Islam abad pertengahan menyumbang kepada perkembangan geometri, terutamanya geometri algebra.[24][25] Al-Mahani (b. 853) mengemukakan idea untuk mengurangkan masalah geometri seperti menduplikasi kubus kepada masalah dalam algebra.[26] Thābit ibn Qurra (dikenali sebagai Thebit in Bahasa Latin) (836-901) ditangani aritmetik operasi yang digunakan untuk nisbah kuantiti geometri, dan menyumbang kepada pengembangan geometri analitik.[27] Omar Khayyám (1048–1131) menemui penyelesaian geometri untuk persamaan kubik.[28] Teorema mengenai Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam dan Nasir al-Din al-Tusi pada segi empat, termasuk Lambert segiempat dan Kuadrilateral Saccheri, adalah hasil awal di geometri hiperbolik, dan bersama dengan postulat alternatif mereka, seperti Aksioma Playfair, karya-karya ini mempunyai pengaruh yang besar terhadap pengembangan geometri bukan Euclidean di antara geometer Eropah kemudian, termasuk Witelo (sekitar 1230 –1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis, dan Giovanni Girolamo Saccheri.[meragukan ][29]

Pada awal abad ke-17, terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Yang pertama adalah penciptaan geometri analitik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh René Descartes (1596–1650) dan Pierre de Fermat (1601–1665).[30] Ini adalah pendahuluan yang perlu bagi pengembangan kalkulus dan sains kuantitatif tepat fizik.[31] Perkembangan geometri kedua pada tempoh ini adalah kajian sistematik mengenai geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661).[32] Geometri projektif mengkaji sifat bentuk yang tidak berubah unjuran dan bahagian, terutamanya kerana ia berkaitan perspektif seni.[33]

Dua perkembangan geometri pada abad ke-19 mengubah cara kajiannya sebelumnya.[34] Ini adalah penemuan geometri bukan Euclidean oleh Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai dan Carl Friedrich Gauss dan rumusan simetri sebagai pertimbangan utama dalam Program Erlangen daripada Felix Klein (yang menggeneralisasi geometri Euclidean dan bukan Euclidean). Dua geometer induk pada masa itu Bernhard Riemann (1826-1866), bekerja terutamanya dengan alat dari analisis matematik, dan memperkenalkan Permukaan Riemann, dan Henri Poincaré, pengasas topologi algebra dan teori geometri bagi sistem dinamik. Akibat daripada perubahan besar dalam konsepsi geometri, konsep "ruang" menjadi sesuatu yang kaya dan bervariasi, dan latar belakang semula jadi teori berbeza seperti analisis kompleks dan mekanik klasik.[35]

Konsep penting dalam geometri

Berikut adalah beberapa konsep terpenting dalam geometri.[2][36][37]

Aksioma

Gambaran Euclid postulat selari

Euclid mengambil pendekatan abstrak untuk geometri dalam bukunya Unsur,[38] salah satu buku paling berpengaruh yang pernah ditulis.[39] Euclid memperkenalkan tertentu aksioma, atau postulat, menyatakan sifat titik, garis, dan satah yang primer atau jelas.[40] Dia terus membuat kesimpulan sifat-sifat lain dengan teliti melalui penaakulan matematik. Ciri khas pendekatan Euclid terhadap geometri adalah ketegasannya, dan telah dikenal sebagai aksiomatik atau sintetik geometri.[41] Pada awal abad ke-19, penemuan mengenai geometri bukan Euclidean oleh Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) dan lain-lain[42] menyebabkan kebangkitan semula minat dalam disiplin ini, dan pada abad ke-20, David Hilbert (1862-1943) menggunakan penalaran aksiomatik dalam usaha untuk menyediakan asas geometri moden.[43]

Mata

Titik dianggap sebagai objek asas dalam geometri Euclidean. Mereka telah didefinisikan dalam pelbagai cara, termasuk definisi Euclid sebagai 'yang tidak mempunyai bahagian'[44] dan melalui penggunaan aljabar atau set bersarang.[45] Di banyak bidang geometri, seperti geometri analitik, geometri pembezaan, dan topologi, semua objek dianggap dibina dari titik. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa kajian geometri tanpa merujuk kepada titik.[46]

Garisan

Euclid menyifatkan garis sebagai "panjang lebar" yang "terletak sama dengan titik-titik pada dirinya sendiri".[44] Dalam matematik moden, memandangkan banyak geometri, konsep garis berkait rapat dengan cara geometri digambarkan. Contohnya, di geometri analitik, garis dalam satah sering didefinisikan sebagai kumpulan titik yang koordinatnya memenuhi suatu titik persamaan linear,[47] tetapi dalam suasana yang lebih abstrak, seperti geometri kejadian, garis mungkin objek bebas, berbeza dari sekumpulan titik yang terletak di atasnya.[48] Dalam geometri pembezaan, a geodesi adalah generalisasi pengertian garis ke ruang melengkung.[49]

Pesawat

A kapal terbang adalah permukaan dua dimensi yang rata yang memanjang jauh.[44] Pesawat digunakan di setiap bidang geometri. Sebagai contoh, pesawat boleh dikaji sebagai permukaan topologi tanpa merujuk kepada jarak atau sudut;[50] ia boleh dikaji sebagai ruang pertalian, di mana collinearity dan ratio dapat dikaji tetapi tidak jarak;[51] ia boleh dikaji sebagai satah kompleks menggunakan teknik analisis kompleks;[52] dan sebagainya.

Sudut

Euclid mentakrifkan satah sudut sebagai kecenderungan satu sama lain, dalam satah, dua garis yang saling bertemu, dan tidak saling berbaring satu sama lain.[44] Dalam istilah moden, sudut adalah angka yang dibentuk oleh dua sinar, dipanggil sisi dari sudut, berkongsi titik akhir yang sama, yang disebut bucu dari sudut.[53]

Sudut akut (a), tumpul (b), dan lurus (c). Sudut akut dan tegak juga dikenali sebagai sudut serong.

Dalam Geometri Euclidean, sudut digunakan untuk mengkaji poligon dan segi tiga, serta membentuk objek kajian dengan sendirinya.[44] Kajian sudut segitiga atau sudut dalam a bulatan unit membentuk asas trigonometri.[54]

Dalam geometri pembezaan dan kalkulus, sudut antara lengkung satah atau keluk ruang atau permukaan boleh dikira dengan menggunakan kata terbitan.[55][56]

Keluk

A keluk adalah objek 1 dimensi yang mungkin lurus (seperti garis) atau tidak; lengkung dalam ruang 2 dimensi disebut lengkung satah dan mereka yang berada dalam ruang 3 dimensi dipanggil keluk ruang.[57]

Dalam topologi, lengkung didefinisikan oleh fungsi dari selang nombor nyata ke ruang lain.[50] Dalam geometri pembezaan, definisi yang sama digunakan, tetapi fungsi menentukan mesti dibezakan [58] Kajian geometri algebra lengkung algebra, yang ditakrifkan sebagai jenis algebra daripada dimensi satu.[59]

Permukaan

Sfera adalah permukaan yang dapat didefinisikan secara parametrik (oleh x = r dosa θ cos φ, y = r dosa θ dosa φ, z = r cos θ) atau secara tersirat (oleh x2 + y2 + z2r2 = 0.)

A permukaan adalah objek dua dimensi, seperti sfera atau paraboloid.[60] Dalam geometri pembezaan[58] dan topologi,[50] permukaan digambarkan oleh 'tambalan' dua dimensi (atau kawasan kejiranan) yang dihimpunkan oleh diffeomorphisms atau homeomorfisme, masing-masing. Dalam geometri algebra, permukaan dijelaskan oleh persamaan polinomial.[59]

Manifold

A berlipat ganda adalah generalisasi konsep lengkung dan permukaan. Dalam topologi, manifold adalah a ruang topologi di mana setiap titik mempunyai kejiranan itu dia homeomorfik ke ruang Euclidean.[50] Dalam geometri pembezaan, a manifold berbeza adalah ruang di mana setiap kawasan kejiranan berada diffeomorphic ke ruang Euclidean.[58]

Manifold digunakan secara meluas dalam fizik, termasuk di relativiti am dan teori tali.[61]

Panjang, luas, dan isipadu

Panjang, kawasan, dan isi padu menerangkan ukuran atau luas objek dalam satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi masing-masing.[62]

Dalam Geometri Euclidean dan geometri analitik, panjang segmen garis sering dapat dikira dengan Teorema Pythagoras.[63]

Luas dan isipadu dapat didefinisikan sebagai kuantiti asas yang terpisah dari panjang, atau mereka dapat digambarkan dan dihitung dari segi panjang dalam satah atau ruang 3 dimensi.[62] Ahli matematik telah menemui banyak eksplisit formula untuk kawasan dan formula untuk isi padu pelbagai objek geometri. Dalam kalkulus, luas dan isipadu dapat ditakrifkan dari segi kesepaduan, seperti Riemann integral[64] atau Lebesgue integral.[65]

Sukatan dan ukuran

Pemeriksaan visual dari Teorema Pythagoras untuk (3, 4, 5) segi tiga seperti di Zhoubi Suanjing 500–200 SM. Teorema Pythagoras adalah akibat dari Sukatan Euclidean.

Konsep panjang atau jarak dapat digeneralisasikan, membawa kepada idea untuk sukatan.[66] Sebagai contoh, Sukatan Euclidean mengukur jarak antara titik di Pesawat Euclidean, Sementara sukatan hiperbolik mengukur jarak di satah hiperbolik. Contoh metrik penting lain termasuk Sukatan Lorentz daripada relativiti khas dan separuhSukatan Riemann daripada relativiti am.[67]

Dalam arah yang berbeza, konsep panjang, luas dan isipadu diperluas oleh teori ukuran, yang mengkaji kaedah menetapkan ukuran atau mengukur ke set, di mana langkah-langkahnya mengikuti peraturan yang serupa dengan peraturan dan kawasan klasik.[68]

Kesesuaian dan persamaan

Kesesuaian dan persamaan adalah konsep yang menerangkan apabila dua bentuk mempunyai ciri yang serupa.[69] Dalam geometri Euclidean, kesamaan digunakan untuk menggambarkan objek yang mempunyai bentuk yang sama, sementara kesesuaian digunakan untuk menggambarkan objek yang sama dari segi ukuran dan bentuk.[70] Hilbert, dalam karyanya untuk mewujudkan asas yang lebih ketat untuk geometri, menganggap kesesuaian sebagai istilah yang tidak ditentukan yang sifatnya ditentukan oleh aksioma.

Kesesuaian dan persamaan digeneralisasikan dalam geometri transformasi, yang mengkaji sifat objek geometri yang dipelihara oleh pelbagai jenis transformasi.[71]

Pembinaan kompas dan garis lurus

Geometri klasik memberi perhatian khusus untuk membina objek geometri yang telah dijelaskan dengan cara lain. Secara klasik, satu-satunya instrumen yang dibenarkan dalam pembinaan geometri adalah kompas dan tepi lurus. Juga, setiap pembinaan mesti selesai dalam beberapa langkah. Walau bagaimanapun, beberapa masalah ternyata sukar atau mustahil untuk diselesaikan dengan cara ini sahaja, dan pembinaan yang bijak menggunakan parabolas dan lekuk lain, serta alat mekanik, dijumpai.

Dimensi

Dimana geometri tradisional membenarkan dimensi 1 (a garisan), 2 (a kapal terbang) dan 3 (dunia ambien kita difahami sebagai ruang tiga dimensi), ahli matematik dan ahli fizik telah menggunakan dimensi yang lebih tinggi selama hampir dua abad.[72] Salah satu contoh penggunaan matematik untuk dimensi yang lebih tinggi adalah ruang konfigurasi sistem fizikal, yang mempunyai dimensi yang sama dengan sistem darjah kebebasan. Sebagai contoh, konfigurasi skru dapat dijelaskan oleh lima koordinat.[73]

Dalam topologi umum, konsep dimensi telah diperluas dari nombor semula jadi, hingga dimensi tak terhingga (Ruang Hilbert, sebagai contoh) dan positif nombor nyata (dalam geometri fraktal).[74] Dalam geometri algebra, dimensi pelbagai algebra telah menerima sejumlah definisi yang nampaknya berbeza, yang semuanya setara dalam kes yang paling biasa.[75]

Simetri

Tema simetri dalam geometri hampir sama tua dengan sains geometri itu sendiri.[76] Bentuk simetri seperti bulatan, poligon sekata dan pepejal platonik sangat penting bagi banyak ahli falsafah kuno[77] dan disiasat secara terperinci sebelum zaman Euclid.[40] Corak simetri berlaku di alam semula jadi dan dihasilkan secara artistik dalam pelbagai bentuk, termasuk grafik Leonardo da Vinci, M. C. Escher, dan lain lain.[78] Pada separuh kedua abad ke-19, hubungan antara simetri dan geometri diteliti dengan teliti. Felix Kleins Program Erlangen menyatakan bahawa, dalam pengertian yang sangat tepat, simetri, dinyatakan melalui konsep transformasi kumpulan, menentukan geometri apa adalah.[79] Simetri dalam klasik Geometri Euclidean diwakili oleh kesesuaian dan gerakan kaku, sedangkan di geometri projektif peranan analog dimainkan oleh persempadanan, transformasi geometri yang mengambil garis lurus menjadi garis lurus.[80] Namun ia berada dalam geometri baru Bolyai dan Lobachevsky, Riemann, Clifford dan Klein, dan Sophus Lie bahawa idea Klein untuk 'menentukan geometri melaluinya kumpulan simetri'mendapat inspirasi.[81] Kedua-dua simetri diskrit dan berterusan memainkan peranan penting dalam geometri, yang pertama di topologi dan teori kumpulan geometri,[82][83] yang terakhir di Teori pembohongan dan Geometri Riemann.[84][85]

Jenis simetri yang berbeza adalah prinsip dualitas dalam geometri projektif, antara bidang lain. Fenomena meta ini secara kasar dapat dijelaskan seperti berikut: dalam mana-mana teorem, pertukaran titik dengan kapal terbang, sertai dengan berjumpa, tipu dengan mengandungi, dan hasilnya adalah teorema yang sama benar.[86] Bentuk dualitas yang serupa dan berkait rapat wujud antara a ruang vektor dan itu dua ruang.[87]

Geometri kontemporari

Geometri Euclidean

Geometri Euclidean adalah geometri dari segi klasiknya.[88] Kerana memodelkan ruang dunia fizikal, ia digunakan di banyak bidang saintifik, seperti mekanik, astronomi, penghabluran,[89] dan banyak bidang teknikal, seperti kejuruteraan,[90] seni bina,[91] geodesi,[92] aerodinamik,[93] dan pelayaran.[94] Kurikulum pendidikan wajib majoriti negara merangkumi kajian konsep Euclidean seperti mata, garisan, kapal terbang, sudut, segi tiga, kesesuaian, persamaan, angka kukuh, bulatan, dan geometri analitik.[36]

Geometri pembezaan

Geometri pembezaan menggunakan alat dari kalkulus untuk mengkaji masalah yang melibatkan kelengkungan.

Geometri pembezaan menggunakan teknik kalkulus dan algebra linear untuk mengkaji masalah dalam geometri.[95] Ia mempunyai aplikasi di fizik,[96] ekonometrik,[97] dan bioinformatik,[98] dalam kalangan yang lain.

Khususnya, geometri pembezaan adalah penting untuk fizik matematik disebabkan oleh Albert Einsteins relativiti am dalil bahawa Alam semesta adalah melengkung.[99] Geometri pembezaan boleh jadi hakiki (bermaksud ruang yang dianggapnya manifold lancar yang struktur geometrinya ditadbir oleh a Sukatan Riemann, yang menentukan bagaimana jarak diukur berhampiran setiap titik) atau ekstrinsik (di mana objek yang dikaji adalah bahagian dari beberapa ruang Euclidean rata ambien).[100]

Geometri bukan Euclidean

Geometri Euclidean bukanlah satu-satunya bentuk sejarah geometri yang dikaji. Geometri sfera telah lama digunakan oleh ahli astronomi, ahli astrologi, dan pelayar.[101]

Immanuel Kant berpendapat bahawa hanya ada satu, mutlak, geometri, yang diketahui benar a priori oleh fakulti minda dalaman: Geometri Euclidean adalah sintetik a priori.[102] Pandangan ini pada awalnya agak dicabar oleh para pemikir seperti Saccheri, akhirnya terbalik oleh penemuan revolusioner dari geometri bukan Euclidean dalam karya Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss (yang tidak pernah menerbitkan teorinya).[103] Mereka menunjukkan perkara biasa Ruang Euclidean hanya satu kemungkinan untuk pengembangan geometri. Pandangan luas mengenai subjek geometri kemudian dinyatakan oleh Riemann dalam kuliah pelantikannya tahun 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Mengenai hipotesis berdasarkan geometri),[104] diterbitkan hanya selepas kematiannya. Idea baru Riemann mengenai ruang terbukti penting dalam Albert Einsteins teori relativiti am. Geometri Riemann, yang menganggap ruang yang sangat umum di mana pengertian panjang ditentukan, adalah andalan geometri moden.[81]

Topologi

Topologi adalah bidang yang berkaitan dengan sifat-sifat pemetaan berterusan,[105] dan boleh dianggap sebagai generalisasi geometri Euclidean.[106] Dalam praktiknya, topologi sering bermaksud menangani sifat ruang berskala besar, seperti keterhubungan dan kekompakan.[50]

Bidang topologi, yang menyaksikan perkembangan besar pada abad ke-20, dari segi teknikal adalah sejenis geometri transformasi, di mana transformasi berada homeomorfisme.[107] Ini sering dinyatakan dalam bentuk pepatah 'topologi adalah geometri kepingan getah'. Subbidang topologi merangkumi topologi geometri, topologi pembezaan, topologi algebra dan topologi umum.[108]

Geometri algebra

Bidang geometri algebra dibangunkan dari Geometri Cartesian daripada koordinat.[109] Ia menjalani tempoh pertumbuhan berkala, disertai dengan penciptaan dan kajian mengenai geometri projektif, geometri birasional, jenis algebra, dan algebra komutatif, antara topik lain.[110] Dari akhir 1950-an hingga pertengahan tahun 1970-an, ia telah mengalami pembangunan asas yang besar, sebahagian besarnya disebabkan oleh pekerjaan Jean-Pierre Serre dan Alexander Grothendieck.[110] Ini membawa kepada pengenalan skema dan penekanan yang lebih besar pada topologi kaedah, termasuk pelbagai teori kohomologi. Satu daripada tujuh Masalah Hadiah Millenium, Sangkaan Hodge, adalah soalan dalam geometri algebra.[111] Bukti Wiles mengenai Teorema Terakhir Fermat menggunakan kaedah lanjutan geometri algebra untuk menyelesaikan masalah yang lama dari teori nombor.

Secara amnya, geometri algebra mengkaji geometri melalui penggunaan konsep dalam algebra komutatif seperti polinomial pelbagai.[112] Ia mempunyai aplikasi di banyak bidang, termasuk kriptografi[113] dan teori tali.[114]

Geometri kompleks

Geometri kompleks mengkaji sifat struktur geometri yang dimodelkan pada, atau timbul dari, satah kompleks.[115][116][117] Geometri kompleks terletak di persimpangan geometri pembezaan, geometri algebra, dan analisis beberapa pemboleh ubah kompleks, dan telah menemui aplikasi untuk teori tali dan simetri cermin.[118]

Geometri kompleks mula-mula muncul sebagai bidang kajian yang berbeza dalam karya Bernhard Riemann dalam kajiannya mengenai Permukaan Riemann.[119][120][121] Pekerjaan dalam semangat Riemann dilakukan oleh Sekolah geometri algebra Itali pada awal tahun 1900-an. Rawatan kontemporari geometri kompleks dimulakan dengan karya Jean-Pierre Serre, yang memperkenalkan konsep sarung kepada subjek, dan menerangi hubungan antara geometri kompleks dan geometri algebra.[122][123]Objek utama kajian dalam geometri kompleks adalah manifold kompleks, jenis algebra kompleks, dan varieti analitik kompleks, dan kumpulan vektor holomorfik dan gulungan yang koheren di atas ruang-ruang ini. Contoh khas ruang yang dikaji dalam geometri kompleks merangkumi permukaan Riemann, dan Manifestasi Calabi-Yau, dan ruang-ruang ini menemui kegunaan dalam teori rentetan. Khususnya, lembaran dunia tali dimodelkan oleh permukaan Riemann, dan teori superstring meramalkan bahawa tambahan 6 dimensi 10 dimensi ruang masa mungkin dimodelkan oleh manifestasi Calabi-Yau.

Geometri diskrit

Geometri diskrit merangkumi kajian pelbagai pembungkusan sfera.

Geometri diskrit adalah subjek yang mempunyai hubungan rapat dengan geometri cembung.[124][125][126] Ini terutama berkaitan dengan persoalan kedudukan relatif objek geometri sederhana, seperti titik, garis dan bulatan. Contohnya merangkumi kajian mengenai pembungkusan sfera, segi tiga, dugaan Kneser-Poulsen, dll.[127][128] Ia berkongsi banyak kaedah dan prinsip dengan penggabungan.

Geometri pengiraan

Geometri pengiraan berurusan dengan algoritma dan mereka pelaksanaan untuk memanipulasi objek geometri. Masalah penting dari segi sejarah merangkumi masalah jurujual perjalanan, pokok merangkumi minimum, penyingkiran garis tersembunyi, dan pengaturcaraan linear.[129]

Walaupun merupakan bidang geometri muda, ia mempunyai banyak aplikasi di visi komputer, pemprosesan imej, reka bentuk berbantukan komputer, pengimejan perubatan, dan lain-lain.[130]

Teori kumpulan geometri

Grafik Cayley bagi kumpulan percuma pada dua penjana a dan b

Teori kumpulan geometri menggunakan teknik geometri berskala besar untuk mengkaji kumpulan yang dihasilkan dengan sempurna.[131] Ia berhubung rapat dengan topologi dimensi rendah, seperti di Grigori Perelmanbukti mengenai Sangkaan geometri, yang merangkumi bukti Sangkaan Poincaré, a Masalah Hadiah Milenium.[132]

Teori kumpulan geometri sering berputar di sekitar Grafik Cayley, yang merupakan gambaran geometri kumpulan. Topik penting lain merangkumi kuasi-isometri, Kumpulan Gromov-hiperbolik, dan kumpulan Artin bersudut tegak.[131][133]

Geometri cembung

Geometri cembung menyiasat cembung bentuk di ruang Euclidean dan analognya yang lebih abstrak, sering menggunakan teknik analisis sebenar dan matematik diskret.[134] Ia mempunyai hubungan rapat dengan analisis cembung, pengoptimuman dan analisis fungsional dan aplikasi penting di teori nombor.

Geometri cembung bermula dari zaman dahulu.[134] Archimedes memberikan definisi tepat mengenai cembung yang pertama diketahui. The masalah isoperimetrik, konsep berulang dalam geometri cembung, dipelajari oleh orang Yunani juga, termasuk Zenodorus. Archimedes, Plato, Euclid, dan kemudian Kepler dan Coxeter semua dikaji polytop cembung dan harta benda mereka. Sejak abad ke-19, ahli matematik telah mempelajari bidang matematik cembung lain, termasuk politop dimensi lebih tinggi, isipadu dan luas permukaan badan cembung, Kelengkungan Gauss, algoritma, tiling dan kisi.

Permohonan

Geometri telah menemui aplikasi dalam banyak bidang, beberapa di antaranya dijelaskan di bawah.

Seni

Bou Inania Madrasa, Fes, Maghribi, jubin mozaik zellige membentuk tiselasi geometri yang rumit

Matematik dan seni berkaitan dalam pelbagai cara. Sebagai contoh, teori mengenai perspektif menunjukkan bahawa terdapat lebih banyak geometri daripada hanya sifat metrik angka: perspektif adalah asal usul geometri projektif.[135]

Artis telah lama menggunakan konsep perkadaran dalam reka bentuk. Vitruvius mengembangkan teori rumit mengenai perkadaran yang ideal untuk sosok manusia.[136] Konsep-konsep ini telah digunakan dan disesuaikan oleh para seniman dari Michelangelo kepada artis buku komik moden.[137]

The nisbah emas adalah bahagian tertentu yang mempunyai peranan kontroversial dalam seni. Selalunya diklaim sebagai nisbah panjang estetik yang paling menyenangkan, ia sering dinyatakan dimasukkan ke dalam karya seni terkenal, walaupun contoh yang paling dapat dipercayai dan jelas dibuat sengaja oleh para seniman yang mengetahui legenda ini.[138]

Tiling, atau tessellations, telah digunakan dalam seni sepanjang sejarah. Seni Islam sering menggunakan tessellations, begitu juga seni M. C. Escher.[139] Kerja Escher juga memanfaatkan geometri hiperbolik.

Cézanne memajukan teori bahawa semua gambar dapat dibina dari sfera, Kon, dan juga silinder. Ini masih digunakan dalam teori seni hari ini, walaupun senarai bentuk yang tepat berbeza dari pengarang ke pengarang.[140][141]

Senibina

Geometri mempunyai banyak aplikasi dalam seni bina. Sebenarnya, dikatakan bahawa geometri terletak pada teras reka bentuk seni bina.[142][143] Aplikasi geometri untuk seni bina merangkumi penggunaan geometri projektif untuk mencipta perspektif paksa,[144] penggunaan bahagian kerucut dalam membina kubah dan objek serupa,[91] penggunaan tessellations,[91] dan penggunaan simetri.[91]

Fizik

Bidang astronomi, terutama yang berkaitan dengan pemetaan posisi bintang dan planet pada sfera cakerawala dan menggambarkan hubungan antara pergerakan cakerawala, telah berfungsi sebagai sumber masalah geometri yang penting sepanjang sejarah.[145]

Geometri Riemann dan pseudo-Riemannian geometri digunakan dalam relativiti am.[146] Teori rentetan menggunakan beberapa varian geometri,[147] begitu juga teori maklumat kuantum.[148]

Bidang matematik lain

Orang Pythagoras mendapati bahawa sisi segitiga boleh dimiliki tidak dapat ditandingi panjang.

Kalkulus sangat dipengaruhi oleh geometri.[30] Sebagai contoh, pengenalan mengenai koordinat oleh René Descartes dan perkembangan bersamaan aljabar menandakan tahap baru untuk geometri, kerana angka geometri seperti lengkung satah sekarang boleh diwakili secara analitik dalam bentuk fungsi dan persamaan. Ini memainkan peranan penting dalam kemunculan kalkulus tak terhingga pada abad ke-17. Geometri analitik terus menjadi asas kurikulum pra-kalkulus dan kalkulus.[149][150]

Satu lagi bidang aplikasi yang penting adalah teori nombor.[151] Dalam Yunani purba yang Orang Pythagoras dianggap peranan nombor dalam geometri. Walau bagaimanapun, penemuan yang tidak dapat dipertimbangkan bertentangan dengan pandangan falsafah mereka.[152] Sejak abad ke-19, geometri telah digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam teori nombor, misalnya melalui geometri nombor atau, baru-baru ini, teori skema, yang digunakan dalam Bukti Wiles mengenai Teorema Terakhir Fermat.[153]

Lihat juga

Senarai

Topik-topik yang berkaitan

Bidang lain

Catatan

  1. ^ Sehingga abad ke-19, geometri didominasi oleh anggapan bahawa semua pembinaan geometri adalah Euclidean. Pada abad ke-19 dan kemudian, ini dicabar oleh perkembangan geometri hiperbolik oleh Lobachevsky dan lain-lain geometri bukan Euclidean oleh Gauss dan lain lain. Kemudian disedari bahawa secara tidak langsung geometri bukan Euclidean telah muncul sepanjang sejarah, termasuk karya Desargues pada abad ke-17, sepanjang penggunaan kembali secara implisit geometri sfera untuk memahami Geodesi bumi dan untuk menavigasi lautan sejak zaman kuno.
  1. ^ Vincenzo De Risi (31 Januari 2015). Ruang Matematik: Objek Geometri dari Zaman dahulu hingga Zaman Moden Awal. Birkhäuser. hlm 1–. ISBN 978-3-319-12102-4.
  2. ^ a b Tabak, John (2014). Geometri: bahasa ruang dan bentuk. Penerbitan Infobase. hlm. xiv. ISBN 978-0816049530.
  3. ^ Walter A. Meyer (21 Februari 2006). Geometri dan Aplikasinya. Elsevier. ISBN 978-0-08-047803-6.
  4. ^ J. Friberg, "Kaedah dan tradisi matematik Babilonia. Plimpton 322, tiga kali lipat Pythagoras, dan persamaan parameter segitiga Babylon", Historia Mathematica, 8, 1981, hlm. 277–318.
  5. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Bab IV Matematik dan Astronomi Mesir". The Exact Sciences in Antiquity (2 ed.). Penerbitan Dover. ms 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2..
  6. ^ (Boyer 1991, "Mesir" hlm. 19)
  7. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 Januari 2016). "Ahli astronomi Babylon kuno mengira kedudukan Musytari dari kawasan itu di bawah graf halaju waktu". Sains. 351 (6272): 482–484. Kod Bib:2016Sci ... 351..482O. doi:10.1126 / sains.aad8085. PMID 26823423.
  8. ^ Depuydt, Leo (1 Januari 1998). "Gnomons di Meroë dan Trigonometri Awal". Jurnal Arkeologi Mesir. 84: 171–180. doi:10.2307/3822211. JSTOR 3822211.
  9. ^ Slayman, Andrew (27 Mei 1998). "Penjaga Langit Neolitik". Arkib Majalah Arkeologi. Diarkibkan dari yang asal pada 5 Jun 2011. Diperoleh 17 April 2011.
  10. ^ (Boyer 1991, "Ionia dan orang Pythagoras" hlm. 43)
  11. ^ Eves, Howard, Pengantar Sejarah Matematik, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  12. ^ Kurt Von Fritz (1945). "Penemuan Ketidaksesuaian oleh Hippasus dari Metapontum". Sejarah Matematik.
  13. ^ James R. Choike (1980). "Pentagram dan Penemuan Nombor Tidak Rasional". Jurnal Matematik Kolej Dua Tahun.
  14. ^ (Boyer 1991, "Zaman Plato dan Aristoteles" h. 92)
  15. ^ (Boyer 1991, "Euclid dari Alexandria" h. 119)
  16. ^ (Boyer 1991, "Euclid dari Alexandria" h. 104)
  17. ^ Howard Eves, Pengenalan Sejarah Matematik, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 hlm. 141: "Tidak ada kerja, kecuali Alkitab, telah lebih banyak digunakan .... "
  18. ^ O'Connor, J.J .; Robertson, E.F. (Februari 1996). "Sejarah kalkulus". Universiti St Andrews. Diarkibkan dari yang asal pada 15 Julai 2007. Diperoleh 7 Ogos 2007.
  19. ^ Staal, Frits (1999). "Geometri Yunani dan Veda". Jurnal Falsafah India. 27 (1–2): 105–127. doi:10.1023 / A: 1004364417713.
  20. ^ Segitiga pythagoras adalah tiga puluh bilangan bulat dengan harta tanah: . Oleh itu, , , dan lain-lain.
  21. ^ (Cooke 2005, hlm. 198): "Kandungan aritmetik dari Śulva Sūtras terdiri daripada peraturan untuk mencari tiga kali lipat Pythagoras seperti (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan (12, 35, 37). Tidak pasti penggunaan praktikal peraturan aritmetik ini. Dugaan terbaik adalah bahawa mereka adalah sebahagian dari ritual keagamaan. Sebuah rumah beragama Hindu diharuskan memiliki tiga kebakaran di tiga altar yang berbeza. Ketiga-tiga altar itu mempunyai bentuk yang berbeza, tetapi ketiga-tiga altar itu mempunyai kawasan yang sama. Keadaan ini menyebabkan masalah "Diophantine" tertentu, satu kes tertentu adalah penghasilan tiga kali lipat Pythagoras, sehingga menjadikan satu bilangan bulat sama dengan jumlah dua yang lain. "
  22. ^ (Hayashi 2005, hlm. 371)
  23. ^ a b (Hayashi 2003, hlm 121–122)
  24. ^ R. Rashed (1994), Perkembangan matematik Arab: antara aritmetik dan aljabar, hlm. 35 London
  25. ^ (Boyer 1991, "Hegemoni Arab" hlm. 241–242) "Omar Khayyam (sekitar 1050-1123)," pembuat khemah, "menulis sebuah Algebra yang melampaui al-Khwarizmi untuk memasukkan persamaan darjah ketiga. Seperti pendahulu Arabnya, Omar Khayyam menyediakan persamaan kuadratik penyelesaian aritmetik dan geometri; untuk persamaan kubik umum, dia percaya (keliru, seperti yang ditunjukkan abad ke-16 kemudian), penyelesaian aritmetik adalah mustahil; oleh itu dia hanya memberikan penyelesaian geometri. Skema penggunaan kerucut bersilang untuk menyelesaikan kubik telah digunakan sebelumnya oleh Menaechmus, Archimedes, dan Alhazan, tetapi Omar Khayyam mengambil langkah terpuji untuk menggeneralisasikan kaedah tersebut untuk merangkumi semua persamaan darjah ketiga (mempunyai akar positif). .. Untuk persamaan darjah lebih tinggi daripada tiga, Omar Khayyam jelas tidak membayangkan kaedah geometri yang serupa, kerana ruang tidak mengandungi lebih dari tiga dimensi, ... Salah satu sumbangan eklektikisme Arab yang paling bermanfaat adalah kecenderungan untuk menutup jurang antara algebra berangka dan geometri. Langkah yang menentukan ke arah ini datang kemudian dengan Descartes, tetapi Omar Khayyam bergerak ke arah ini ketika dia menulis, "Barangsiapa yang menganggap aljabar adalah muslihat untuk mendapatkan yang tidak diketahui, dia telah menganggapnya sia-sia. Tidak ada perhatian yang harus diberikan kepada fakta bahawa aljabar dan geometri berbeza dari segi rupa. Algebras adalah fakta geometri yang terbukti. "".
  26. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Al-Mahani". Arkib Sejarah Matematik MacTutor. Universiti St Andrews..
  27. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani". Arkib Sejarah Matematik MacTutor. Universiti St Andrews..
  28. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Omar Khayyam". Arkib Sejarah Matematik MacTutor. Universiti St Andrews..
  29. ^ Boris A. Rosenfeld dan Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometri", dalam Roshdi Rashed, ed., Ensiklopedia Sejarah Sains Arab, Vol. 2, hlm. 447–494 [470], Laluan Laluan, London dan New York:

    "Tiga saintis, Ibn al-Haytham, Khayyam, dan al-Tusi, telah memberikan sumbangan yang paling besar terhadap cabang geometri ini yang pentingnya hanya dapat diketahui sepenuhnya pada abad ke 19. Pada dasarnya, cadangan mereka mengenai sifat-sifat segiempat yang mereka anggap, dengan anggapan bahawa beberapa sudut angka-angka ini sangat tepat, merangkumi beberapa teori pertama geometri hiperbolik dan elips. Cadangan mereka yang lain menunjukkan bahawa pelbagai pernyataan geometri setara dengan postulat Euclidean V. penting bahawa para sarjana ini menjalin hubungan bersama antara postulat ini dan jumlah sudut segitiga dan segiempat sama. Dengan karya mereka mengenai teori garis selari matematikawan Arab secara langsung mempengaruhi penyiasatan yang relevan dari rakan sejawat mereka di Eropah. Percubaan Eropah pertama untuk membuktikan postulat pada garis selari - dibuat oleh Witelo, saintis Poland abad ke-13, sementara e menyemak semula karya Ibn al-Haytham Buku Optik (Kitab al-Manazir) - sudah pasti didorong oleh sumber bahasa Arab. Bukti-bukti yang dikemukakan pada abad ke-14 oleh sarjana Yahudi Levi ben Gerson, yang tinggal di selatan Perancis, dan oleh Alfonso yang disebutkan di atas dari Sepanyol secara langsung bersempadan dengan demonstrasi Ibn al-Haytham. Di atas, kami telah menunjukkan bahawa Eksposisi Euclid Pseudo-Tusi telah merangsang kedua-dua kajian J. Wallis dan G. Saccheri mengenai teori garis selari. "

  30. ^ a b Carl B. Boyer (2012). Sejarah Geometri Analitik. Syarikat Kurier. ISBN 978-0-486-15451-0.
  31. ^ C.H. Edwards Jr. (2012). Perkembangan Sejarah Kalkulus. Springer Science & Business Media. hlm. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5.
  32. ^ Judith V. Padang; Jeremy Gray (2012). Karya Geometri Girard Desargues. Springer Science & Business Media. hlm. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6.
  33. ^ C. R. Wylie (2011). Pengenalan Geometri Projektif. Syarikat Kurier. ISBN 978-0-486-14170-1.
  34. ^ Jeremy Gray (2011). Worlds Out of Nothing: Kursus dalam Sejarah Geometri pada abad ke-19. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1.
  35. ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Aplikasi Algebra Geometrik Vol. Saya: Visi Komputer, Grafik dan Neurokomputer. Pemecut. hlm. 4. ISBN 978-3-319-74830-6.
  36. ^ a b Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "Kurikulum yang koheren". Pendidik Amerika, 26(2), 1–18.
  37. ^ Morris Kline (Mac 1990). Pemikiran Matematik Dari Zaman Purba hingga Moden: Jilid 3. Oxford University Press, Amerika Syarikat. hlm 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6.
  38. ^ Victor J. Katz (21 September 2000). Menggunakan Sejarah untuk Mengajar Matematik: Perspektif Antarabangsa. Akhbar Universiti Cambridge. hlm 45–. ISBN 978-0-88385-163-0.
  39. ^ David Berlinski (8 April 2014). Raja Ruang Tak Terbatas: Euclid dan Unsur-unsurnya. Buku Asas. ISBN 978-0-465-03863-3.
  40. ^ a b Robin Hartshorne (11 November 2013). Geometri: Euclid dan Di Luar. Springer Science & Business Media. hlm.29–. ISBN 978-0-387-22676-7.
  41. ^ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (16 Mac 2017). Pembelajaran dan Pengajaran Geometri di Sekolah Menengah: Perspektif Pemodelan. Taylor & Francis. ms 20–. ISBN 978-1-351-97353-3.
  42. ^ I.M. Yaglom (6 Disember 2012). Geometri Bukan Euclidean yang Sederhana dan Asas Fizikalnya: Akaun Dasar Geometri Galilea dan Prinsip Relativiti Galilea. Springer Science & Business Media. hlm.6–. ISBN 978-1-4612-6135-3.
  43. ^ Audun Holme (23 September 2010). Geometri: Warisan Budaya Kita. Springer Science & Business Media. ms 254–. ISBN 978-3-642-14441-7.
  44. ^ a b c d e Euclid's Elements - Semua tiga belas buku dalam satu jilid, Berdasarkan terjemahan Heath, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  45. ^ Clark, Bowman L. (Januari 1985). "Individu dan Mata". Notre Dame Jurnal Logik Formal. 26 (1): 61–75. doi:10.1305 / ndjfl / 1093870761.
  46. ^ Gerla, G. (1995). "Geometri Tanpa Titik" (PDF). Di Buekenhout, F .; Kantor, W. (ed.). Buku panduan geometri kejadian: bangunan dan asas. Belanda Utara. hlm 1015–1031. Diarkibkan daripada asal (PDF) pada 17 Julai 2011.
  47. ^ John Casey (1885). Geometri Analitik Bahagian Titik, Garis, Bulatan, dan Kerucut.
  48. ^ Buekenhout, Francis (1995), Buku Panduan Geometri Kejadian: Bangunan dan Asas, Elsevier B.V.
  49. ^ "geodesik - definisi geodesik dalam bahasa Inggeris dari kamus Oxford". OxfordDactions.com. Diarkibkan dari yang asal pada 15 Julai 2016. Diperoleh 20 Januari 2016.
  50. ^ a b c d e Munkres, James R. Topologi. Jilid 2. Sungai Saddle Atas: Prentice Hall, 2000.
  51. ^ Szmielew, Wanda. "Dari geometri afin hingga Euclidean: Pendekatan aksiomatik." Springer, 1983.
  52. ^ Ahlfors, Lars V. Analisis kompleks: pengenalan kepada teori fungsi analitik satu pemboleh ubah kompleks. New York, London (1953).
  53. ^ Sidorov, L.A. (2001) [1994]. "Sudut". Ensiklopedia Matematik. Akhbar EMS.
  54. ^ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, dan Mark Saul. "Trigonometri." 'Trigonometri'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  55. ^ Stewart, James (2012). Kalkulus: Transendental awal, Edisi ke-7, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9
  56. ^ Jost, Jürgen (2002). Analisis Geometri dan Geometri Riemann. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  57. ^ Baker, Henry Frederick. Prinsip geometri. Jilid 2. Arkib CUP, 1954.
  58. ^ a b c Do Carmo, Manfredo Perdigao, dan Manfredo Perdigao Do Carmo. Geometri pembezaan lengkung dan permukaan. Jilid 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  59. ^ a b Mumford, David (1999). Buku Varieti dan Skema Merah Merangkumi Kuliah Michigan mengenai Kurva dan Orang-orang Jacobian mereka (Edisi ke-2.) Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl 0945.14001.
  60. ^ Briggs, William L., dan Lyle Cochran Calculus. "Transendental awal." ISBN 978-0321570567.
  61. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Bentuk Ruang Dalam: Teori Rentetan dan Geometri Dimensi Tersembunyi Alam Semesta. Buku Asas. ISBN 978-0-465-02023-2.
  62. ^ a b Steven A. Treese (17 Mei 2018). Sejarah dan Pengukuran Pangkalan dan Unit Berasal. Penerbitan Springer International. hlm. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  63. ^ James W. Cannon (16 November 2017). Geometri Panjang, Kawasan, dan Isipadu. Soc Matematik Amerika. hlm. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5.
  64. ^ Gilbert Strang (1 Januari 1991). Kalkulus. SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4.
  65. ^ H. S. Bear (2002). Primer Integrasi Lebesgue. Akhbar Akademik. ISBN 978-0-12-083971-1.
  66. ^ Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, Kursus dalam Metrik Geometri, Persatuan Matematik Amerika, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
  67. ^ Wald, Robert M. (1984). Relativiti Umum. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  68. ^ Terence Tao (14 September 2011). Pengenalan Teori Pengukuran. Soc Matematik Amerika. ISBN 978-0-8218-6919-2.
  69. ^ Shlomo Libeskind (12 Februari 2008). Euclidean dan Geometri Transformasional: Penyelidikan Deduktif. Pembelajaran Jones & Bartlett. hlm. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6.
  70. ^ Mark A. Freitag (1 Januari 2013). Matematik untuk Guru Sekolah Dasar: Pendekatan Proses. Pembelajaran Cengage. hlm. 614. ISBN 978-0-618-61008-2.
  71. ^ George E. Martin (6 Disember 2012). Geometri Transformasi: Pengenalan Simetri. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9.
  72. ^ Mark Blacklock (2018). Kemunculan Dimensi Keempat: Pemikiran Spasial yang Lebih Tinggi di Fin de Siècle. Akhbar Universiti Oxford. ISBN 978-0-19-875548-7.
  73. ^ Charles Jasper Joly (1895). Kertas kerja. Akademi. ms 62–.
  74. ^ Roger Temam (11 Disember 2013). Sistem Dinamik Tak Terbatas dalam Mekanik dan Fizik. Springer Science & Business Media. hlm. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3.
  75. ^ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Kemajuan Terkini dalam Bentuk Geometri Algebra dan Kuadratik Sebenar: Prosiding Tahun RAGSQUAD, Berkeley, 1990-1991. Soc Matematik Amerika. hlm. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8.
  76. ^ Ian Stewart (29 April 2008). Mengapa Kecantikan Adalah Kebenaran: Sejarah Simetri. Buku Asas. hlm. 14. ISBN 978-0-465-08237-7.
  77. ^ Stakhov Alexey (11 September 2009). Matematik Keharmonian: Dari Euclid hingga Matematik Kontemporari Dan Sains Komputer. Dunia Ilmiah. hlm. 144. ISBN 978-981-4472-57-9.
  78. ^ Werner Hahn (1998). Simetri sebagai Prinsip Perkembangan dalam Alam dan Seni. Dunia Ilmiah. ISBN 978-981-02-2363-2.
  79. ^ Brian J. Cantwell (23 September 2002). Pengenalan Analisis Simetri. Akhbar Universiti Cambridge. hlm. 34. ISBN 978-1-139-43171-2.
  80. ^ B. Rosenfeld; Bill Wiebe (9 Mac 2013). Geometri Kumpulan Lie. Springer Science & Business Media. hlm. 158 dst. ISBN 978-1-4757-5325-7.
  81. ^ a b Peter Pesic (1 Januari 2007). Beyond Geometry: Kertas Klasik dari Riemann hingga Einstein. Syarikat Kurier. ISBN 978-0-486-45350-7.
  82. ^ Michio Kaku (6 Disember 2012). Rentetan, Bidang Konformal, dan Topologi: Pengenalan. Springer Science & Business Media. hlm. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8.
  83. ^ Mladen Bestvina; Michah Sageev; Karen Vogtmann (24 Disember 2014). Teori Kumpulan Geometrik. Soc Matematik Amerika. hlm. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2.
  84. ^ W-H. Steeb (30 September 1996). Simetri Berterusan, Aljabar Lie, Persamaan Pembezaan dan Algebra Komputer. Syarikat Penerbitan Ilmiah Dunia. ISBN 978-981-310-503-4.
  85. ^ Charles W. Misner (20 Oktober 2005). Petunjuk dalam Relativiti Umum: Jilid 1: Prosiding Simposium Antarabangsa 1993, Maryland: Makalah Kehormatan Charles Misner. Akhbar Universiti Cambridge. hlm. 272. ISBN 978-0-521-02139-5.
  86. ^ Linnaeus Wayland Dowling (1917). Geometri Projektif. Syarikat buku McGraw-Hill, Diperbadankan. hlm.10.
  87. ^ G. Gierz (15 November 2006). Kumpulan Ruang Vektor Topologi dan Dualitasnya. Pemecut. hlm. 252. ISBN 978-3-540-39437-2.
  88. ^ Robert E. Butts; J.R. Brown (6 Disember 2012). Konstruktivisme dan Sains: Esei dalam Falsafah Jerman Terkini. Springer Science & Business Media. ms 127–. ISBN 978-94-009-0959-5.
  89. ^ Sains. Raja Musa. 1886. ms 181–.
  90. ^ W. Abbot (11 November 2013). Geometri Praktikal dan Grafik Kejuruteraan: Buku Teks untuk Pelajar Kejuruteraan dan Lain-lain. Springer Science & Business Media. hlm.6–. ISBN 978-94-017-2742-6.
  91. ^ a b c d George L. Hersey (Mac 2001). Senibina dan Geometri pada Zaman Baroque. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9.
  92. ^ P. Vanícek; E.J. Krakiwsky (3 Jun 2015). Geodesi: Konsepnya. Elsevier. hlm. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9.
  93. ^ Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (27 April 2015). Aerodinamik Komputasi Gunaan. Akhbar Universiti Cambridge. hlm. 449. ISBN 978-1-107-05374-8.
  94. ^ Roy Williams (1998). Geometri Navigasi. Pub Horwood. ISBN 978-1-898563-46-4.
  95. ^ Gerard Walschap (1 Julai 2015). Kira-Kira Berbilang dan Geometri Pembezaan. De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0.
  96. ^ Harley Flanders (26 April 2012). Bentuk Pembezaan dengan Aplikasi Sains Fizikal. Syarikat Kurier. ISBN 978-0-486-13961-6.
  97. ^ Paul Marriott; Mark Salmon (31 Ogos 2000). Aplikasi Geometri Pembezaan untuk Ekonometrik. Akhbar Universiti Cambridge. ISBN 978-0-521-65116-5.
  98. ^ Matthew Dia; Sergey Petoukhov (16 Mac 2011). Matematik Bioinformatik: Teori, Kaedah dan Aplikasi. John Wiley & Anak. hlm. 106. ISBN 978-1-118-09952-0.
  99. ^ P.A.M. Dirac (10 Ogos 2016). Teori Relativiti Umum. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3.
  100. ^ Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (25 Ogos 2017). Geometri Maklumat. Pemecut. hlm. 185. ISBN 978-3-319-56478-4.
  101. ^ Boris A. Rosenfeld (8 September 2012). Sejarah Geometri Bukan Euclidean: Evolusi Konsep Ruang Geometri. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8680-1.
  102. ^ Kline (1972) "Pemikiran matematik dari zaman kuno hingga moden", Oxford University Press, h. 1032. Kant tidak menolak logik (analitik a priori) kemungkinan dari geometri bukan Euclidean, lihat Jeremy Gray, "Idea Ruang Euclidean, Non-Euclidean, dan Relativistik", Oxford, 1989; hlm. 85. Ada yang menyiratkan bahawa, berdasarkan ini, Kant sebenarnya diramalkan pengembangan geometri bukan Euclidean, rujuk Leonard Nelson, "Falsafah dan Aksiomatik," Kaedah Sokratik dan Falsafah Kritikal, Dover, 1965, h. 164.
  103. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville (1919). Unsur-unsur Geometri Bukan Euclidean ... Gelanggang Terbuka. hlm. 15ff
  104. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Diarkibkan daripada asal pada 18 Mac 2016.
  105. ^ Martin D. Crossley (11 Februari 2011). Topologi Penting. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-782-7.
  106. ^ Charles Nash; Siddhartha Sen (4 Januari 1988). Topologi dan Geometri untuk Ahli Fizik. Elsevier. hlm. 1. ISBN 978-0-08-057085-3.
  107. ^ George E. Martin (20 Disember 1996). Geometri Transformasi: Pengenalan Simetri. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90636-2.
  108. ^ J. P. Mei (September 1999). Kursus Ringkas dalam Topologi Algebra. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
  109. ^ The Encyclopedia Americana: Perpustakaan Rujukan Sejagat yang Terdiri dari Seni dan Sains, Sastera, Sejarah, Biografi, Geografi, Perdagangan, dll., Dunia. Jabatan Penyusunan Ilmiah Amerika. 1905. ms 489–.
  110. ^ a b Suzanne C. Dieudonne (30 Mei 1985). Geometri Algebra Sejarah. CRC Press. ISBN 978-0-412-99371-8.
  111. ^ James Carlson; James A. Carlson; Arthur Jaffe; Andrew Wiles (2006). Masalah Hadiah Milenium. Soc Matematik Amerika. ISBN 978-0-8218-3679-8.
  112. ^ Robin Hartshorne (29 Jun 2013). Geometri Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
  113. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter; Judy L. Walker (15 November 2017). Geometri Algebra untuk Teori Pengkodan dan Kriptografi: IPAM, Los Angeles, CA, Februari 2016. Pemecut. ISBN 978-3-319-63931-4.
  114. ^ Marcos Marino; Michael Thaddeus; Ravi Vakil (15 Ogos 2008). Enumerative Invariants dalam Algebraic Geometry and String Theory: Ceramah yang diberikan di C.I.M.E. Summer School yang diadakan di Cetraro, Itali, 6-11 Jun 2005. Pemecut. ISBN 978-3-540-79814-9.
  115. ^ Huybrechts, D. (2006). Geometri kompleks: pengenalan. Springer Science & Business Media.
  116. ^ Griffiths, P., & Harris, J. (2014). Prinsip geometri algebra. John Wiley & Anak.
  117. ^ Wells, R. O. N., & García-Prada, O. (1980). Analisis perbezaan pada manifold kompleks (Vol. 21980). New York: Springer.
  118. ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klemm, A., ... & Zaslow, E. (2003). Simetri cermin (Jilid 1). Soc Matematik Amerika.
  119. ^ Forster, O. (2012). Kuliah di permukaan Riemann (Jilid 81). Springer Science & Business Media.
  120. ^ Miranda, R. (1995). Lengkung algebra dan permukaan Riemann (Jilid 5). Soc Matematik Amerika.
  121. ^ Donaldson, S. (2011). Permukaan Riemann. Akhbar Universiti Oxford.
  122. ^ Serre, J. P. (1955). Kohen Faisceaux algébriques. Annals of Mathematics, 197-278.
  123. ^ Serre, J. P. (1956). Analisis Géométrie algébrique et géométrie. Dalam Annales de l'Institut Fourier (Jilid 6, hlm. 1-42).
  124. ^ Jiří Matoušek (1 Disember 2013). Kuliah mengenai Geometri Diskrit. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7.
  125. ^ Chuanming Zong (2 Februari 2006). Jendela Cube-A untuk Geometri Cembung dan Diskrit. Akhbar Universiti Cambridge. ISBN 978-0-521-85535-8.
  126. ^ Peter M. Gruber (17 Mei 2007). Geometri Cembung dan Diskrit. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9.
  127. ^ Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (11 April 2011). Geometri Diskrit dan Komputasi. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1.
  128. ^ Károly Bezdek (23 Jun 2010). Topik Klasik dalam Geometri Diskrit. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7.
  129. ^ Franco P. Preparata; Michael I. Shamos (6 Disember 2012). Geometri Komputasi: Pengenalan. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6.
  130. ^ Xianfeng David Gu; Shing-Tung Yau (2008). Geometri Konformal Komputasi. Akhbar Antarabangsa. ISBN 978-1-57146-171-1.
  131. ^ a b Clara Löh (19 Disember 2017). Teori Kumpulan Geometrik: Pengenalan. Pemecut. ISBN 978-3-319-72254-2.
  132. ^ John Morgan; Gang Tian (21 Mei 2014). Tuduhan Geometriisasi. Soc Matematik Amerika. ISBN 978-0-8218-5201-9.
  133. ^ Daniel T. Wise (2012). Dari Kaya hingga Raags: 3-Manifolds, Kumpulan Artin Sudut Kanan, dan Geometri Kubikal: 3-manifold, Kumpulan Artin bersudut kanan, dan Geometri Kubikal. Soc Matematik Amerika. ISBN 978-0-8218-8800-1.
  134. ^ a b Gerard Meurant (28 Jun 2014). Buku Panduan Geometri Cembung. Ilmu Elsevier. ISBN 978-0-08-093439-6.
  135. ^ Jürgen Richter-Gebert (4 Februari 2011). Perspektif mengenai Geometri Projektif: Lawatan Berpandu Melalui Geometri Nyata dan Kompleks. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
  136. ^ Kimberly Elam (2001). Geometri Reka Bentuk: Kajian dalam Perkadaran dan Komposisi. Akhbar Senibina Princeton. ISBN 978-1-56898-249-6.
  137. ^ Brad J. Guigar (4 November 2004). Buku Cartooning Semuanya: Buat Kartun Unik Dan Berinspirasi Untuk Keseronokan Dan Keuntungan. Media Adams. hlm 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2.
  138. ^ Mario Livio (12 November 2008). Nisbah Emas: Kisah PHI, Nombor Paling Menakjubkan di Dunia. Mahkota / Arkib. hlm. 166. ISBN 978-0-307-48552-6.
  139. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (8 Mei 2007). Warisan M. C. Escher: Perayaan Seratus Tahun. Pemecut. hlm. 107. ISBN 978-3-540-28849-7.
  140. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Kursus Menggambar 101. Sterling Publishing Company, Inc. hlm.22. ISBN 978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Phyllis Gelineau (1 Januari 2011). Mengintegrasikan Kesenian Merentas Kurikulum Sekolah Rendah. Pembelajaran Cengage. hlm. 55. ISBN 978-1-111-30126-2.
  142. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (5 Disember 2016). Kemajuan dalam Geometri Senibina 2010. Birkhäuser. hlm. 6. ISBN 978-3-99043-371-3.
  143. ^ Helmut Pottmann (2007). Geometri seni bina. Bentley Institute Press.
  144. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). Sejarah Senibina Dunia. Penerbitan Laurence King. hlm. 371. ISBN 978-1-85669-371-4.
  145. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (31 Oktober 1985). Astronomi Sfera. Akhbar Universiti Cambridge. hlm. 1. ISBN 978-0-521-31779-5.
  146. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Perkembangan Terkini dalam Pseudo-Riemannian Geometry. Persatuan Matematik Eropah. ISBN 978-3-03719-051-7.
  147. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (7 September 2010). Bentuk Ruang Dalam: Teori Rentetan dan Geometri Dimensi Tersembunyi Alam Semesta. Buku Asas. ISBN 978-0-465-02266-3.
  148. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometri Keadaan Quantum: Pengenalan Terhadap Kuantum (Edisi ke-2.) Akhbar Universiti Cambridge. ISBN 9781107026254. OCLC 1004572791.
  149. ^ Harley Flanders; Harga Justin J. (10 Mei 2014). Kalkulus dengan Geometri Analitik. Ilmu Elsevier. ISBN 978-1-4832-6240-6.
  150. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (30 Januari 2015). Kalkulus. W. H. Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5.
  151. ^ Álvaro Lozano-Robledo (21 Mac 2019). Teori Nombor dan Geometri: Pengenalan Geometri Aritmetik. Soc Matematik Amerika. ISBN 978-1-4704-5016-8.
  152. ^ Arturo Sangalli (10 Mei 2009). Dendam Pythagoras: Misteri Matematik. Princeton University Press. hlm.57. ISBN 978-0-691-04955-7.
  153. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (1 Disember 2013). Bentuk Modular dan Teorema Terakhir Fermat. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3.

Sumber

Bacaan lanjut

Pautan luaran

"Geometri". Encyclopædia Britannica. 11 (Edisi ke-11.) 1911. ms 675-736.

Pin
Send
Share
Send